Clase digital 7. Aplicaciones

Aplicaciones

Introducción

Imagina que te piden construir una caja sin tapa con una hoja de papel bond tamaño carta, pero con una condición que la hagas de las dimensiones de alto, ancho y profundo adecuadas para que le quepa 1 litro de agua (piensa que la caja no se deshará con el agua). ¿Cómo lo harías?, ¿de qué tamaño la harías?, gracias al uso de la derivada es muy fácil. ¿me acompañas?

Veamos primero cómo determinar máximos, mínimos y puntos de inflexión y después resolveremos problemas de aplicación.

Desarrollo del tema

Aplicaciones

Una de las aplicaciones más importantes sobre el uso de la derivada es encontrar dónde una función tiene un punto máximo o un punto mínimo, por lo que en esta sección analizaremos varias funciones para encontrar estos puntos extremos.

Tenemos diferentes puntos extremos, como puedes ver en la siguiente imagen podemos tener máximos absolutos, máximos relativos, mínimos absolutos y mínimos relativos, estos nombres dependen del intervalo en que estés considerando analizar la gráfica.

Como puedes ver, el punto de la izquierda donde está x = a, no está relleno, por lo tanto, no se puede considerar como un máximo relativo aunque está más arriba de los demás y más abajo del máximo absoluto porque no está considerado dentro del intervalo. Sin embargo, en x = d, donde dice mínimo relativo, sí se considera porque es un mínimo que está dentro del intervalo. Ahora bien la diferencia entre relativo y absoluto sería que puede haber varios mínimos dentro de un mismo intervalo: el que sea más pequeño será el absoluto y los demás serán relativos; de manera similar será para máximos.

En la imagen también podrás observar que hay flechas indicando hacia dónde se mueve la gráfica; esas flechas me indican que la gráfica está decreciendo o creciendo, dependiendo si va hacia abajo o hacia arriba.

Como puedes ver, para que tengamos un mínimo es necesario que la función decrezca primero y después crezca, esto es que sea decreciente y luego creciente. Caso contrario ocurre para un máximo, donde primero la función será creciente y luego será decreciente. Cuando se tiene un máximo, se dice que la función es cóncava hacia abajo y cuando tienes un mínimo se dice que la función es cóncava hacia arriba.

Pero ahora la pregunta es ¿necesito graficar la función siempre para poder ver dónde están los máximos y los mínimos? La respuesta es NO. Hacer uso de la derivada te puede ayudar a poder encontrar los puntos en donde tienes extremos y qué tipo de extremos son, veamos un ejemplo:

Sea 

f(x) = x² – 2x + 4 en el intervalo (-∞,∞), entre los puntos en donde la función tiene extremos y qué tipo de extremos tiene.

Lo que debemos saber es que, cuando sacamos la primera derivada y la igualamos a cero con los valores que cumplen esta igualdad encontramos los puntos críticos. Los puntos críticos son aquellos en los cuales podríamos encontrar puntos extremos como máximos o mínimos o bien los denominados puntos de inflexión. Un punto de inflexión es aquél en donde la gráfica cambia de concavidad (cómo está marcado en la gráfica anterior).

Derivando e igualando a cero, tenemos:

f´(x) = 2x – 2

2x – 2 = 0 2x = 2 x = 1

Al resolver la ecuación encontramos que en x = 1 hay un punto crítico, aún no sabemos si es máximo, mínimo o punto de inflexión, pero podríamos saberlo considerando analizar los valores de la función antes y después de ese punto crítico, es decir tomar un valor de x = 0 y un valor de x = 2.

De manera que tenemos:

Los valores pasan de 4 a 2 y luego a 4, es decir de decreciente a creciente, por lo tanto, tenemos un mínimo en x = 1. Si la graficamos, veremos claramente el mínimo:

Pero ¿no habrá una manera más fácil de determinar si es máximo, mínimo o punto de inflexión?, si la hay y se conoce como criterio de la segunda derivada.

Este criterio no permite encontrar si el punto encontrado después de hacer la primera derivada e igualar a cero, es un máximo un mínimo o un punto de inflexión. El teorema dice así:

Sea c un número crítico de una función f en el que

f'(c) = 0, y suponga que f’’ existe para todos los valores de x en un intervalo abierto que contiene a c.

Si seguimos con el ejemplo anterior tenemos que la segunda derivada sería f’’(x) = 2, por lo que al evaluar en x = 1,  f’’(1) = 2, por lo que al ser mayor que cero indica que hay un mínimo en x = 1.

Veamos otro ejemplo y luego pasaremos a aplicación a solución de problema:.

Encuentre los puntos extremos de la siguiente función:

Veamos la gráfica usando geogebra:

Hagamos otro ejercicio:

Encuentra los puntos críticos y determina si son máximos, mínimos o puntos de inflexión de la siguiente función:

f(x) = 2x³ – 9x² + 2

derivamos:

f'(x) = 6x² – 18x

Igualamos a cero:

6x² – 18x = 0 6× (x – 3) = 0

Resolvemos para encontrar los puntos críticos:

x₁ = 0 x₂ = 3

Encontramos la segunda derivada:

f»(x) = 12x – 18

Igualamos a cero para encontrar lo puntos de inflexión:

Su gráfica es:

Ahora apliquemos esto a problemas de diseño, por ejemplo:

Un trozo de alambre de 10 m de longitud se corta en 2 partes con una parte se hace una circunferencia y la otra se dobla en forma de cuadrado. ¿Cómo debe cortarse el alambre de modo que (a) el área total de las 2 figuras sea la mínima posible, (b) el área de las 2 figuras sea el máximo posible?

Lo primero que sugiero hacer es un dibujo en donde ubiquemos las 2 partes del alambre.

Puedes ver el alambre total mide 10 m y a la hora de partirlo, a una parte le llamo x porque no sé dónde lo voy a partir, y a la otra le podría llamar y,  pero eso implicaría tener 2 variables, por lo que entonces la segunda parte la pongo en función de la longitud inicial y el pedazo que le corte 10 – x.

Podemos entonces formar un círculo con la parte de longitud  y un cuadrado con la parte de longitud 10 -x mostrado en la figura en color rojo pero también podríamos considerar hacer el círculo con la parte 10 -x y el cuadrado con la parte de x mostrado en la figura en color verde ambas son correctas y puedes utilizar cualquiera de las 2 en mi caso voy a utilizar la de color rojo.

Leyendo el problema nos damos cuenta que nos piden minimizar el área en el primer inciso y maximizarla en el segundo, es decir son 2 problemas qué se resuelven por separado. En cualquiera de los 2 casos necesitamos saber cómo se calcula el área de un círculo y de un cuadrado, las cuales son:

Pero no conocemos el área el radio del círculo, ni la longitud del lado del cuadrado, lo único que conocemos es que con un pedazo de alambre de tamaño x hicimos un círculo esto quiere decir que el perímetro del círculo es igual x y que con un pedazo de alambre de 10 – x hicimos un cuadrado lo que quiere decir que el perímetro del cuadrado es igual a 10 – x.

Las fórmulas para el perímetro son:

Vemos que el valor mínimo sería usando x = 0 y el máximo usando x = k: 

Problema:

Determine el volumen del cilindro circular recto más grande que pueda inscribirse en un cono circular recto que tiene un radio de 4m y una altura de 8m. Haremos primero un dibujo de lo que nos están pidiendo:

Algunos videos que te pueden ayudar a comprender mejor, son los siguientes:

Criterio de la primera derivada

Criterio de la segunda derivada

Teorema de Rolle

Te recomiendo que leas los siguientes textos, en donde se ahonda más en el tema y hay más ejemplos.

Conclusión

Qué interesante fue ver las aplicaciones de la derivada, ahora ya puedes resolver el problema de la caja de papel. Hay muchas más aplicaciones, espero que te sean de utilidad en tu profesión.

Fuentes de información

• https://luiscastellanos.files.wordpress.com/2007/02/calculo-louis-leithold.pdf, páginas 197-242,267-275  numeración del libro.